La théorie du chaos

En 1687, Isaac Newton publie les Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, un ouvrage qui bouleverse durablement notre compréhension du monde. Il y expose les lois du mouvement et de la gravitation universelle, montrant qu’une même mécanique explique aussi bien la chute d’une pomme que la trajectoire des planètes.

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La portée de cette découverte dépasse largement la physique. Si l’Univers obéit à des lois immuables, alors son évolution n’est plus le fruit du hasard : elle peut, en principe, être calculée. Connaître parfaitement l’état d’un système à un instant donné, c’est connaître son avenir.

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Au début du XIXᵉ siècle, le mathématicien Pierre-Simon de Laplace pousse cette idée jusqu’à son terme. Il imagine une intelligence capable de connaître, à un instant précis, la position et la vitesse de chaque particule de l’Univers. Pour un tel esprit, écrit-il, rien ne serait incertain : le passé comme l’avenir lui seraient entièrement accessibles.

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Pendant près de deux siècles, cette vision s’impose. Le monde apparaît comme une gigantesque mécanique d’horlogerie : compliquée, certes, mais fondamentalement prévisible.

Du moins, le croyait-on.

Le problème à trois corps

Dans le roman de science-fiction à succès Le Problème à trois corps, une civilisation extraterrestre vit sur une planète gravitant autour de trois soleils. Au gré de l’évolution de leurs positions respectives, la planète alterne entre des périodes stables, pendant lesquelles les conditions climatiques permettent le développement d’une civilisation, et des périodes chaotiques, où la planète peut être brûlée, gelée ou soumise à des catastrophes gravitationnelles. 

L’intrigue naît de l'impossibilité pour ces civilisations d’anticiper l’avenir. 

Derrière cette fiction se cache un problème mathématique bien réel. Si les lois de Newton permettent de décrire avec une précision remarquable le mouvement de deux corps qui s’attirent mutuellement (comme la Terre autour du Soleil, par exemple), tout se complique dès lors que l’on ajoute un troisième corps.

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À la fin du XIXᵉ siècle, le mathématicien français Henri Poincaré arrive à une conclusion déroutante : il n’existe pas de méthode générale permettant de prédire simplement l’évolution d’un tel système. Au lieu de calculer directement la position d’un système à une date donnée, il faut avancer pas à pas : calculer sa position un instant plus tard, puis recommencer à partir de cette nouvelle position, et ainsi de suite.

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Cette découverte crée une fissure dans l’héritage de Newton. Les lois de la nature sont certes déterministes, mais le calcul peut se révéler d’une extrême complexité.

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L’effet papillon

En 1961, le météorologue américain Edward Lorenz travaille sur un modèle informatique destiné à simuler l’évolution de la météo. À l’époque, les ordinateurs occupent des pièces entières et chaque simulation demande plusieurs heures de calcul.

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Un jour, souhaitant rejouer une simulation déjà effectuée, Lorenz décide de gagner du temps. Plutôt que de repartir du début, il relance le programme à partir d’une valeur intermédiaire qu’il saisit manuellement. À sa grande surprise, la nouvelle simulation s’écarte progressivement de la première… avant de produire une évolution totalement différente.

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L’origine de cette divergence tient à un détail presque invisible. L’ordinateur avait conservé les calculs avec six décimales, tandis que Lorenz n’avait ressaisi que les trois premières. Une différence de trois millièmes seulement avait suffi à faire diverger progressivement toute la simulation.

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Cette fois, le problème n’est plus la difficulté des calculs. Même en procédant pas à pas, comme l’exigeait déjà le problème à trois corps, une erreur infinitésimale finit par être amplifiée jusqu’à rendre la prévision inutilisable. En 1972, Lorenz résume cette découverte par le titre d’une conférence devenue célèbre : « Le battement d’ailes d’un papillon au Brésil peut-il provoquer une tornade au Texas ? » Il illustre ainsi la sensibilité des systèmes complexes aux conditions initiales.

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La complexité des calculs n’est plus le seul obstacle à la prévision : c’est aussi que nous ne pouvons connaître les conditions initiales d’un système avec une précision infinie.

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La théorie du chaos

Les travaux de Poincaré, puis ceux de Lorenz, donneront naissance à ce que l’on appelle aujourd’hui la théorie du chaos. Contrairement à ce que son nom laisse penser, elle ne décrit pas un monde désordonné ou gouverné par le hasard. Elle étudie au contraire des systèmes déterministes, c’est-à-dire régis par des lois connues, mais dont l’évolution devient pratiquement imprévisible en raison de leur extrême sensibilité aux conditions initiales, du grand nombre d’interactions qu’ils mettent en jeu et des relations non linéaires entre leurs composantes.

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Autrement dit, le chaos ne remet pas en cause les lois de la physique. Il remet en cause notre capacité à prévoir leurs conséquences sur de longues périodes.

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Loin d’être une curiosité mathématique, cette propriété apparaît dans de nombreux phénomènes naturels. C’est le cas de la météorologie, où une erreur de mesure infinitésimale finit par rendre les prévisions peu fiables au-delà de quelques jours. On la retrouve également dans la turbulence des fluides, dans certains phénomènes astronomiques, dans la dynamique des océans, dans les réactions chimiques ou encore dans le comportement de certains pendules, comme le célèbre pendule double.

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Le faux plan des business plans

Les entreprises et les marchés sont des lieux de prévision par excellence. Les décisions s’y appuient sur de complexes calculs — plus ou moins pertinents. 

Si ni les entreprises ni les marchés ne constituent des systèmes chaotiques au sens mathématique du terme, la théorie du chaos offre néanmoins un angle original pour réfléchir aux limites de nos prévisions.

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D’abord, toute prévision possède un horizon de validité. La prudence s’impose pour les projections lointaines comme pour celles qui multiplient les hypothèses. Ceux qui ont passé des nuits à modéliser des plans à 5 ans pour voir ces mêmes plans démentis au bout de 15 jours ne nous contrediront pas. 

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Ensuite, accumuler davantage de données, toujours plus précises, ne conduit pas nécessairement à de meilleures prévisions. Lorsque les interactions deviennent très nombreuses, une précision supplémentaire sur les conditions de départ ne suffit pas toujours à prolonger l’horizon de prévisibilité. 

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Cette idée rappelle également que les progrès du big data ou de l’intelligence artificielle ne repoussent pas nécessairement toutes les limites de la prévision. Utilisés sans discernement, ces outils peuvent même créer une dangereuse illusion de contrôle.

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La théorie du chaos ne nous invite pas à abandonner les prévisions. Elle nous rappelle simplement qu’à partir d’un certain niveau de complexité, il devient plus judicieux de construire des organisations capables de s’adapter aux surprises que de chercher à les prévoir toutes.